Geometric Distribution & Poisson Distribution

 Geometric Distribution

Geometric Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

1.  Percobaan (trial) akan dilakukan berulang kali sampai mendapatkan outcome success.
2. Setiap percobaan (trial) adalah independent terhadap trials lainnya.
3. Memiliki nilai probability success (p) yang sama untuk tiap trial.
4. Random variable x merepresentasikan banyaknya trials yang dilakukan sampai mendapati kondisi success.

Geometric Distribution: Formula

Geometric Distribution: contoh

Diketahui seorang pemain basket sejauh ini mencatat keberhasilan 75% dalam melakukan free throws. Berapa probability pemain tersebut mendapatkan point free throw pertamanya pada pelemparan ketiga atau keempat?

Diket :

p = 0.75

q = 0.25

Poisson Distribution

Poisson Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

1. Random variable x merepresentasikan banyaknya kemunculan suatu event dalam interval waktu tertentu.
2. Nilai probability untuk kemunculan event adalah sama untuk setiap interval.
3. Jumlah kemunculan event pada suatu interval adalah independent terhadap jumlah kemunculan event pada interval lainnya.

Poisson Distribution: Formula

Bilangan irrational = 2.71828

Rata-rata jumlah kemunculan event di tiap interval 

Poisson Distribution: contoh

Diketahui rata-rata jumlah kasus kecelakaan lalu lintas per bulan yang terjadi di suatu ruas jalan toll adalah  3 kasus.

Berapa nilai probability untuk mendapatkan 4 kasus kecelakaan dalam satu bulan tertentu pada ruas jalan toll tersebut?

Geometric Distribution & Poisson Distribution

Geometric Distribution

Geometric Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

1.  Percobaan (trial) akan dilakukan berulang kali sampai mendapatkan outcome success.
2. Setiap percobaan (trial) adalah independent terhadap trials lainnya.
3. Memiliki nilai probability success (p) yang sama untuk tiap trial.
4. Random variable x merepresentasikan banyaknya trials yang dilakukan sampai mendapati kondisi success.

Geometric Distribution: Formula

Geometric Distribution: contoh

Diketahui seorang pemain basket sejauh ini mencatat keberhasilan 75% dalam melakukan free throws. Berapa probability pemain tersebut mendapatkan point free throw pertamanya pada pelemparan ketiga atau keempat?

Diket :

p = 0.75

q = 0.25

Poisson Distribution

Poisson Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

1. Random variable x merepresentasikan banyaknya kemunculan suatu event dalam interval waktu tertentu.
2. Nilai probability untuk kemunculan event adalah sama untuk setiap interval.
3. Jumlah kemunculan event pada suatu interval adalah independent terhadap jumlah kemunculan event pada interval lainnya.

Poisson Distribution: Formula

Bilangan irrational = 2.71828

Rata-rata jumlah kemunculan event di tiap interval 

Poisson Distribution: contoh

Diketahui rata-rata jumlah kasus kecelakaan lalu lintas per bulan yang terjadi di suatu ruas jalan toll adalah  3 kasus.

Berapa nilai probability untuk mendapatkan 4 kasus kecelakaan dalam satu bulan tertentu pada ruas jalan toll tersebut?

Binomial Distribution

Binomial Experiments

Binomial experiment merupakan suatu probability experiment yang memenuhi kriteria berikut:

- Memiliki jumlah percobaan (trials) yang tetap dan setiap trial independent terhadap trials lainnya.

- Setiap trial hanya memiliki dua kemungkinan outcomes; biasa dikategorikan sebagai success (S) atau failure (F).

- Memiliki nilai probability success yang sama untuk tiap trial.

- Random variabel x merepresentasikan jumlah kemunculan success dalam suatu experiment.

Binomial Experiments: notasi

Banyaknya trials pada suatu experiment

Nilai probability failure pada suatu trial rumus : q = 1 - p

Nilai probability success pada suatu trial

Jumlah kemunculan success pada suatu experiment

Binomial Experiments: contoh 1

Suatu teknik pembibitan ikan lele memiliki tingkat keberhasilan 85%. Teknik ini lalu diterapkan pada 8 kolam ikan (empang). Nilai random variable merepresentasikan banyaknya empang yang berhasil melakukan pembibitan. Apakah experiment ini bisa dikategorikan sebagai binomial experiment?

Jawaban : Binomial Experiment

Binomial Experiments: contoh 2

Sebuah kaleng berisi 5 kelereng merah, 9 kelereng biru, dan 6 kelereng hijau. Dilakukan pengambilan 3 buah kelereng dari kaleng secara acak tanpa pengembalian (without replacement). 

Random variable merepresentasikan banyaknya kelereng merah yang terambil. Apakah experiment ini bisa dikategorikan sebagai binomial experiment? 

Jawaban : Bukan Binomial Experiment

Binomial Probability Formula

Terdapat beberapa cara untuk menghitung probability dari x success dari sejumlah n trials pada suatu binominal experiment: Tree Diagram, Multiplication Rule, Binomial Probability Formula.

Binomial Probability: contoh Tree Diagram

Diketahui peluang keberhasilan untuk suatu operasi otot tendon adalah 90%. Bila dilakukan operasi terhadap 3 orang pasien; berapa probability untuk mendapatkan keberhasilkan tepat pada 2 orang pasien?

Binomial Probability: contoh Formula

Diketahui peluang keberhasilan untuk suatu operasi otot tendon adalah 90%. Bila dilakukan operasi terhadap 3 orang pasien; berapa probability untuk mendapatkan keberhasilkan tepat pada 2 orang pasien?

 

Binomial Probability: Mean, Variance & Standard Deviation

• Mean 
  
  
  
• Variance
  
  
  
• Standard Deviation
  

Distribusi Probabilitas

Random Variables

Random variable x merepresentasikan suatu nilai numerik yang berasosiasi dengan setiap outcome dari suatu probability experiment.

Kata “Random” mengindikasikan bahwa nilai x ditentukan secara kebetulan (by chance).

Dua Jenis Random Variables: Discrete dan Continuous

- Discrete: Semua kemungkinan outcomes dapat dihitung (countable) atau memiliki batasan (finite)

- Continuous: Semua kemungkinan outcomes tidak dapat dihitung (uncountable), umumnya direpresentasikan dengan nilai interval.

Dua Jenis Random Variables: contoh

- Discrete

Random variable x merepresentasikan jumlah wisudawan dari Fakultas Teknologi Informasi di tahun ini.

- Continuous

Random variable x merepresentasikan volume minyak goreng yang ditampung dalam sebuah tangki berkapasitas 150 Liter.

Discrete Probability Distributions

Suatu Discrete Probability Distribution mendata setiap kemungkinan nilai random variable beserta probabilitasnya.

Setiap Discrete Probability Distribution harus memenuhi kedua kondisi berikut:

Membangun Discrete Probability Distributions

1. Bangun frequency distribution untuk seluruh outcome

2. Hitung total jumlah kemunculan (sum of the frequencies)

3. Hitung probability untuk setiap outcome

4. Pastikan kedua syarat untuk suatu frequency distribution terpenuhi

Discrete Probability Distributions: contoh 1

Dilakukan pendataan tingkat kepuasan pelanggan untuk suatu mini market menggunakan likert scale dengan rentang mulai dari 1 (sangat tidak puas) sampai dengan 5 (sangat puas). Dari frequency distribution yang terbentuk, buatlah discrete probability distribution-nya!

Discrete Probability Distributions: contoh 2

Lakukan pengujian apakah distribusi berikut termasuk probability distribution!

Mean untuk Discrete Random Variable

Nilai mean untuk suatu discrete random variable dapat diformulasikan sebagai berikut:

Standard Deviation untuk Discrete Random Variable

Nilai variance dan standard deviation untuk suatu discrete random variable dapat diformulasikan sebagai berikut:

Expected Value

Nilai mean dari suatu random variable merepresentasikan apa yang bisa kita harapkan untuk diperoleh dari ribuan kali percobaan (trials). Ini juga dikenal dengan istilah expected value.

1. Nilai probability tidak mungkin negatif, tetapi nilai expected value memungkinkan untuk negatif

2. Di banyak kasus, nilai expected value 0 dapat memiliki makna tersendiri;

 - Untuk kasus permainan: fair game

 - Untuk kasus loss & profit analysis: break-even point 

PERMUTASI DAN KOMBINASI

 Permutasi (Permutations)

Permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi); Permutasi dari sekumpulan n objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n.

 

Permutasi: contoh 1

Berapa banyak kemungkinan cara untuk melakukan pengurutan angka pada baris pertama?

penyelesayan : 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362,880

Permutasi: formula

Permutasi pada pengaturan urutan penyusunan sejumlah r objek yang diambil dari sekumpulan n objek unik dapat diformulasikan sebagai berikut 

Permutasi: contoh 2

Berapa banyak kemungkinan cara untuk membentuk empat digit angka sebagai kode akses, di mana tidak boleh ada angka yang berulang?

n=10

r=4

Permutasi: dengan duplikasi

Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek sejenis dapat diformulasikan sebagai berikut

Permutasi: contoh 3

Semisal kita dihadapkan pada sekumpulan deret huruf sebagai berikut: AAAABBC

Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret huruf tersebut?

Kombinasi (Combinations)

Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.

Kombinasi: contoh 1 

Pemerintah kota memiliki 5 buah taman kota (A, B, C, D, E) yang membutuhkan instalasi lampu taman. Sayangnya anggaran yang tersedia hanya memungkinkan instalasi untuk 3 taman kota saja.

n = 5

r = 3

Berapa banyak opsi tiga taman kota yang bisa dipilih untuk instalasi lampu taman?

ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Probabilitas dengan Permutasi & Kombinasi: contoh 1 

Suatu unit kegiatan mahasiswa berganggotakan 17 orang.

Terdapat 3 orang yang menduduki posisi sebagai: ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk menduduki ketiga posisi tersebut.

n = 17

r = 3

Berapa probability untuk memilih 3 orang anggota secara acak dan ketiganya menduduki posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara?

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi (Permutations)

Permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi); Permutasi dari sekumpulan n objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n.

 

Permutasi: contoh 1

Berapa banyak kemungkinan cara untuk melakukan pengurutan angka pada baris pertama?

penyelesayan : 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362,880

Permutasi: formula

Permutasi pada pengaturan urutan penyusunan sejumlah r objek yang diambil dari sekumpulan n objek unik dapat diformulasikan sebagai berikut 

Permutasi: contoh 2

Berapa banyak kemungkinan cara untuk membentuk empat digit angka sebagai kode akses, di mana tidak boleh ada angka yang berulang?

n=10

r=4

Permutasi: dengan duplikasi

Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek sejenis dapat diformulasikan sebagai berikut

Permutasi: contoh 3

Semisal kita dihadapkan pada sekumpulan deret huruf sebagai berikut: AAAABBC

Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret huruf tersebut?

Kombinasi (Combinations)

Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.

Kombinasi: contoh 1 

Pemerintah kota memiliki 5 buah taman kota (A, B, C, D, E) yang membutuhkan instalasi lampu taman. Sayangnya anggaran yang tersedia hanya memungkinkan instalasi untuk 3 taman kota saja.

n = 5

r = 3

Berapa banyak opsi tiga taman kota yang bisa dipilih untuk instalasi lampu taman?

ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Probabilitas dengan Permutasi & Kombinasi: contoh 1 

Suatu unit kegiatan mahasiswa berganggotakan 17 orang.

Terdapat 3 orang yang menduduki posisi sebagai: ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk menduduki ketiga posisi tersebut.

n = 17

r = 3

Berapa probability untuk memilih 3 orang anggota secara acak dan ketiganya menduduki posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara?